21 research outputs found
Greedy algorithms for high-dimensional non-symmetric linear problems
In this article, we present a family of numerical approaches to solve
high-dimensional linear non-symmetric problems. The principle of these methods
is to approximate a function which depends on a large number of variates by a
sum of tensor product functions, each term of which is iteratively computed via
a greedy algorithm. There exists a good theoretical framework for these methods
in the case of (linear and nonlinear) symmetric elliptic problems. However, the
convergence results are not valid any more as soon as the problems considered
are not symmetric. We present here a review of the main algorithms proposed in
the literature to circumvent this difficulty, together with some new
approaches. The theoretical convergence results and the practical
implementation of these algorithms are discussed. Their behaviors are
illustrated through some numerical examples.Comment: 57 pages, 9 figure
Convergence of a greedy algorithm for high-dimensional convex nonlinear problems
In this article, we present a greedy algorithm based on a tensor product
decomposition, whose aim is to compute the global minimum of a strongly convex
energy functional. We prove the convergence of our method provided that the
gradient of the energy is Lipschitz on bounded sets. The main interest of this
method is that it can be used for high-dimensional nonlinear convex problems.
We illustrate this method on a prototypical example for uncertainty propagation
on the obstacle problem.Comment: 36 pages, 9 figures, accepted in Mathematical Models and Methods for
Applied Science
An embedded corrector problem to approximate the homogenized coefficients of an elliptic equation
We consider a diffusion equation with highly oscillatory coefficients that
admits a homogenized limit. As an alternative to standard corrector problems,
we introduce here an embedded corrector problem, written as a diffusion
equation in the whole space in which the diffusion matrix is uniform outside
some ball of radius . Using that problem, we next introduce three
approximations of the homogenized coefficients. These approximations, which are
variants of the standard approximations obtained using truncated (supercell)
corrector problems, are shown to converge when . We also discuss
efficient numerical methods to solve the embedded corrector problem
Etude mathématique de modèles quantiques et classiques pour les matériaux aléatoires à l'échelle atomique
Les contributions de cette thèse portent sur deux sujets.La première partie est dédiée à l'étude de modèles de champ moyen pour la structure électronique de matériaux avec des défauts.Dans le chapitre~ref{chap:ergodic_crystals}, nous introduisons et étudions le modèle de Hartree-Fock réduit (rHF) pour des cristaux désordonnés. Nous prouvons l'existence d'un état fondamental et établissons, pour les interactions de Yukawa (à courte portée), certaines propriétés de cet état. Dans le chapitre~ref{chap:défauts_étendus}, nous considérons des matériaux avec des défauts étendus. Dans le cas des interactions de Yukawa, nous prouvons l'existence d'un état fondamental, solution de l'équation auto-cohérente. Nous étudions également le cas de cristaux avec une faible concentration de défauts aléatoires. Dans le chapitre~ref{chap:numerical_simuation}, nous présentons des résultats de simulations numériques de systèmes aléatoires en dimension un.Dans la deuxième partie, nous étudions des modèles Monte-Carlo cinétique multi-échelles en temps. Nous prouvons, pour les trois modèles présentés au chapitre~ref{chap:kMC}, que les variables lentes convergent, dans la limite de la grande séparation des échelles de temps, vers une dynamique effective. Nos résultats sont illustrés par des simulations numériques.The contributions of this thesis concern two topics.The first part is dedicated to the study of mean-field models for the electronic structure of materials with defects. In Chapter~ref{chap:ergodic_crystals}, we introduce and study the reduced Hartree-Fock (rHF) model for disordered crystals. We prove the existence of a ground state and establish, for (short-range)Yukawa interactions, some properties of this ground state. In Chapter~ref{chap:défauts_étendus}, we consider crystals with extended defects. Assuming Yukawa interactions, we prove the existence of an electronic ground state, solution of the self-consistent field equation. We also investigate the case of crystals with low concentration of random defects. In Chapter~ref{chap:numerical_simuation}, we present some numerical results obtained from the simulation of one-dimensional random systems.In the second part, we consider multiscale-in-time kinetic Monte Carlo models. We prove, for the three models presented in Chapter~ref{chap:kMC}, that in the limit of large time-scale separation, the slow variables converge to an effective dynamics. Our results are illustrated by numerical simulations.CERGY PONTOISE-Bib. electronique (951279901) / SudocSudocFranceF
A mathematical introduction to Density Functional Theory and Kohn-Sham models (REVIEW)
Non UBCUnreviewedAuthor affiliation: Ecole des Ponts and INRIAFacult
Quelques méthodes mathématiques pour la simulation moleculaire et multiéchelle
MARNE-LA-VALLEE-ENPC-BIBL. (774682303) / SudocSudocFranceF
Analyse mathématique de modèles en nanophysique
PARIS-BIUSJ-Physique recherche (751052113) / SudocSudocFranceF
Modélisation mathématique et simulation numérique de la structure électronique de cristaux en présence des défauts ponctuels
Nous présentons des résultats mathématiques obtenus pour un nouveau modèle de champ moyen dédié à la description d'électrons quantiques interagissant dans des cristaux comportant des défauts locaux. Ce modèle est dérivé du modèle dit de supercellule par un procédé de limite thermodynamique. ous travaillons avec un modèle de Hartree-Fock réduit, obtenu à partir du modèle de Kohn-Sham étendu en négligeant le terme d'échange-corrélation. Les modèles utilisés et les résultats obtenus sont présentés au chapitre 2 puis démontrés au chapitre 4. Les chapitres 3 et 5 sont consacre s à la simulation numérique de notre modèle. Notre approche consiste à mettre en œuvre une approximation variationnelle dans une base précalculée de fonctions de Wannier du cristal parfait de référence. Nous présentons quelques résultats numériques obtenus sur un modèle uni dimensionnel avec un potentiel d'interaction de Yukawa.MARNE-LA-VALLEE-ENPC-BIBL. (774682303) / SudocSudocFranceF